Question

已知抛物线C₁：x²=4py，圆C₂：x²+（y-p）²=p²，直线l：y=

1

2

x+p，其中p＞0，直线l与C₁，C₂的四个交点按横坐标从小到大依次为A，B，C，D，则

AB

•

CD

的值为（　　）

• A、

  p2

  4

• B、

  p2

  3

• C、

  p2

  2

• D、p²

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得抛物线的焦点C₂（0，p），求得|AB|=|AC₂|-|BC₂|=y_A，同理求得|CD|=y_D，再根据

AB

•

CD

=|AB|•|CD|，利用韦达定理计算求得结果．

解答： 解：由题意可得抛物线的焦点C₂（0，p），|AB|=|AC₂|-|BC₂|=y_A+p-p=y_A，
同理求得|CD|=y_D，∴

AB

•

CD

=|AB|•|CD|=y_A•y_D，
而由

x2=4py y= 1 2 x+p

，可得 y²-3py+p²=0，∴y_A•y_D=p²，
故选：D．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，属于基础题．