Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{ a_n+1-a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂（a_n+1），{b_n}的前n项和为S_n，求证

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），结合a₁=1，a₂=3，即a₂-a₁=2，可得：{ a_n+1-a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，进而利用叠加法可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂（a_n+1）=n，则

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项相消法，可得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2(1-

1

n+1

)＜2．

解答： 证明：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又∵a₁=1，a₂=3，即a₂-a₁=2，
所以，{ a_n+1-a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．…（3分）
a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ，…（4分）
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；…（7分）
（Ⅱ）b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，…（8分）
S_n=

n(n+1)

2

，…（9分）

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)＜2．…（14分）

点评：本题考查数列的概念及简单表示法，考查等比关系的确定及等比数列的求和，考查转化与分析推理能力，属于中档题．