题目内容
设F1、F2分别是椭圆
+y2=1的左、右焦点，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
•
的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且
=λ
，求λ的值．
| x2 |
| 4 |
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且
| BF1 |
| CF1 |
考点：椭圆的简单性质
专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程，求出焦点的坐标，化简
•
=
（3x2-8），结合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）设C（x0，y0），由
=λ
，用λ 表示 x0，y0，把C（x0，y0）代入椭圆的方程求得λ值．
| PF1 |
| PF2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）设C（x0，y0），由
| BF1 |
| CF1 |
解答：
解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=
，
所以，F1（-
，0），F2（
，0），
设P（x，y），则
•
=（-
-x，-y）•（
-x，-y）=x2+y2-3=x2+1-
-3=
（3x2-8），
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
•
有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
•
有最大值1．
（Ⅱ）设C（x0，y0），B（0，-1），F1（-
，0），
由
=λ
，得x0=
，y0=-
，
又
+y02=1，
所以有 λ2+6λ-7=0，解得λ=-7，λ=1＞0（舍去）．
| 3 |
所以，F1（-
| 3 |
| 3 |
设P（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）设C（x0，y0），B（0，-1），F1（-
| 3 |
由
| BF1 |
| CF1 |
| ||
| λ |
| 1 |
| λ |
又
| x02 |
| 4 |
所以有 λ2+6λ-7=0，解得λ=-7，λ=1＞0（舍去）．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解题的易错点．
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| ||
B、
| ||
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| ||
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