Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，cosC），$\overrightarrow{n}$=（2a+c，b），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小．
（2）若b=2，a+c=3，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量垂直的性质，正弦定理，三角形内角和定理可得2sinAcosB+sinA=0，结合sinA≠0，可求cosB，即可得解B的值．
（2）由余弦定理可求ac的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，cosC），$\overrightarrow{n}$=（2a+c，b），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
得（2a+c）cosB+bcosC=0，
得2sinAcosB+sinA=0，由于sinA≠0，可得：cosB=-$\frac{1}{2}$，
可得：B=$\frac{2π}{3}$…6分
（2）由b=2，a+c=3，B=$\frac{2π}{3}$，
∴2²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-ac，
∴可得：ac=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量垂直的性质，正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．