Question

20．已知函数$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）-2cosx+1$．
（1）试将函数f（x）化为f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，并求该函数的对称中心；
（2）若锐角△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（A）=0，求$\frac{b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，利用余弦函数的对称中心求解即可．
（2）通过函数的值，求出A的值，然后利用正弦定理化简函数的表达式，利用角的范围，求解$\frac{b}{c}$的取值范围

解答 解：（1）由条件得$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）-2cos2x+1$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x+1=-2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由$2x+\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$，解得$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，
于是所求的对称中心（$-\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，1）k∈Z．
（2）f（A）=0，可得-2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=0，解得A=$\frac{π}{3}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin（\frac{2π}{3}-C）}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2tanC}+\frac{1}{2}$，
又△ABC为锐角三角形，故$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{1}{2}＜\frac{b}{c}=\frac{{\sqrt{3}}}{2tanC}+\frac{1}{2}＜2$，
于是$\frac{b}{c}$的取值范围是$（\frac{1}{2}，2）$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．