Question

19．（1）在y=2x²上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，求点P的坐标
（2）一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上一宽4m，高6m的大木箱，问能否安全．

Answer 1

分析 （1）直线l为抛物线y=2x²的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN₁⊥l，由抛物线的定义知，|PF|=|PN|，可得|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN₁|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．
（2）建立如图所示的坐标系，设抛物线方程x²=-2py，抛物线过点（26，-6.5），代入抛物线方程求出参数p 即得抛物线方程；把y=-0.5代入抛物线的方程求得|x|值，由此值与5比较，可知竹排能安全通过此桥．

解答 解：（1）如图所示，直线l为抛物线y=2x²的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN₁⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|=|PN|，
∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN₁|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
∴P（1，2）；
（2）建立坐标系，设抛物线解析式为x²=-2py（p＞0）
把（26，-6.5）代入，
解得抛物线：x²=-104y
当y=6-6.5=-0.5时，x=±2$\sqrt{13}$，则有4$\sqrt{13}$＞4，所以木箱能安全通过．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、最小值问题，考查用待定系数法求抛物线的标准方程的方法，以及利用抛物线的方程解决实际问题．属于中档题．