Question

10．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为$\frac{1}{7}$，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，在每一次摸球时袋中每个球被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
（1）求甲取到白球的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布及均值．

Answer 1

分析 （1）利用组合数公式计算白球个数，再对甲取球次数进行讨论计算概率；
（2）利用条件概率公式计算ξ的分布列，得出均值．

解答 解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知，$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{1}{7}$，即$\frac{n（n-1）}{42}$=$\frac{1}{7}$，
∴n（n-1）=6，解得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球．
记“甲取到白球”为事件A，
则P（A）=$\frac{3}{7}$+$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{3}{5}$+$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}$×$\frac{3}{3}$=$\frac{22}{35}$．
∴甲取到白球的概率为$\frac{22}{35}$．
（2）ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=3）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{3}{5}$=$\frac{6}{35}$，
P（ξ=4）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{35}$，P（ξ=5）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{3}$=$\frac{1}{35}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴E（ξ）=1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{2}{7}$+3×$\frac{6}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{1}{35}$=2．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．