Question

19．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形F₁MF₂，如果线段MF₁的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e等于（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2

Answer 1

分析 首先判断P在y轴上，设|F₁F₂|=2c，则M（0，$\sqrt{3}$ c），求出边MF₁的中点，代入渐近线方程可得双曲线的离心率．

解答 解：如图，
以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，则M在y轴上，不妨看作在y轴正半轴上，
可设|F₁F₂|=2c，则M（0，$\sqrt{3}$c），
又F₁（-c，0），则边MF₁的中点为（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入直线y=$-\frac{b}{a}x$，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}c=-\frac{b}{a}•（-\frac{c}{2}）$，
得b=$\sqrt{3}a$，两边平方得：b²=c²-a²=3a²，
即c²=4a²，解得e=2（e＞1）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．