Question

若命题p：“存在x＞1，使得x²+（m-3）x+3-m＜0”为假命题，则m的取值范围．

Answer 1

考点：特称命题,命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：首先把特称命题转化成全称命题，进一步利用恒成立问题，即m≥-[（x-1）+

1

x-1

]+1恒成立，只需求出m比函数-[（x-1）+

1

x-1

]+1的最大值大即可．进一步利用不等式求出结果．

解答： 解：∵命题“存在x＞1，x²+（m-2）x+3-m＜0”为假命题，
∴命题“任意x＞1，x²+（m-2）x+3-m≥0”为真命题，
等价为（x-1）²-（x-1）+1+（x-1）m≥0，
∵x＞1，∴x-1＞0，
即m≥-[（x-1）+

1

x-1

]+1恒成立，
∵-[（x-1）+

1

x-1

]+1≤-2

(x-1)+( 1 x-1 )

=1-2=-1，当且仅当x-1=

1

x-1

时，即x=2时取等号，
∴m≥-1，
故答案为：[1，+∞）

点评：本题考查的知识要点：全称命题和特称命题的转化，恒成立问题的应用，基本不等式的应用．