Question

7．已知A（2，0），B（-2，0），P（x，y），下列命题正确的是（　　）

• A． 若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆
• B． 若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线
• C． 椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是-$\frac{3}{4}$
• D． 双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 在A中：点P的轨迹为线段AB；在B中：点P的轨迹为双曲线的左支；在C中：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是-$\frac{3}{4}$；在D中：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是$\frac{3}{4}$．

解答 解：∵A（2，0），B（-2，0），P（x，y），∴|AB|=4，
若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为线段AB，故A错误；
若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线的左支，故B错误；
依题意可知A（2，0），B（-2，0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1顶点，
M是椭圆椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一点，设坐标为M（2cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴MA、MB的斜率分别是k₁=$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα-2}$，k₂=$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα+2}$
∴k₁k₂=$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα-2}$×$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα+2}$=$\frac{3si{n}^{2}α}{4（co{s}^{2}α-1）}$=-$\frac{3}{4}$，故C正确；
依题意可知A（2，0），B（-2，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的项点，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1焦点，
M是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一点，设坐标为M（2sect，$\sqrt{3}$tant），
∴MA、MB的斜率分别是k₁=$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect-2}$，k₂=$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect+2}$，
∴k₁k₂=$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect-2}$×$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect+2}$=$\frac{3}{4}$，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查点的轨迹方程的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆的性质的合理运用．