Question

16．已知正四棱锥的所有棱长都相等，那么该四棱锥的内切球与外接球的表面积之比为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径；由等体积可得内切球半径r，即可求出四棱锥的内切球与外接球的表面积之比．

解答 解：正四棱锥的底面边长为a，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记球心为O，PO=AO=R，AO₁=PO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，得R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
正四棱锥内切球的半径为r
由等体积可得$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{1}{3}$（a²+4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²）r，
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a÷（1+$\sqrt{3}$），
∴该四棱锥的内切球与外接球的表面积之比为$\frac{1}{（1+\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查外接球半径R及内切球半径r，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．