Question

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，|$\overrightarrow{AB}$|=5，20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，则$\overrightarrow{CP}$$•\overrightarrow{AB}$的值为（　　）

• A． $\frac{23}{3}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． -$\frac{23}{3}$
• D． -8

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$，代入已知条件，由平面向量的基本定理得出a，b，c的关系求出a，b，c．解出三角形的一个内角，用该角的两边向量表示出$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}$，代入数量积公式计算．

解答 解：∵20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，∴20a（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）-15b$\overrightarrow{AC}$+60$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即（60-20a）$\overrightarrow{AB}$+（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共线，∴$\left\{\begin{array}{l}{60-20a=0}\\{20a-15b=0}\end{array}\right.$，解得a=3，b=4．∴△ABC是直角三角形．CA⊥CB．∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0．
∵$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$）=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$．∴$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$．∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{CP}$$•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）=$\frac{1}{3}$CB²-$\frac{2}{3}$CA²=$\frac{1}{3}$a²-$\frac{2}{3}$b²=-$\frac{23}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的基本定理，向量加减运算的几何意义，属于中档题．