Question

7．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足x²f'（x）+xf（x）=lnx，f（e）=$\frac{1}{e}$，则f（x）（　　）

• A． 有极大值，无极小值
• B． 有极小值，无极大值
• C． 既有极大值又有极小值
• D． 既无极大值也无极小值

Answer 1

分析 由题意知[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，从而由积分可知xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，从而解得f（x）的解析式，从而再求导判断函数的单调性即可判断函数的极值．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，
又∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴e•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2}$+c，
故c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=$\frac{2lnx×\frac{1}{x}×x-（l{n}^{2}x+1）}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（lnx-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∴既无极大值又无极小值．
故选D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查了导数的综合应用及积分的应用，考查转化思想，属于中档题．