Question

求y=

x

x2+1

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：将原函数变成yx²+y=x，整理成：yx²-x+y=0，可将该式看成关于x的方程，方程有解．讨论y=0和y≠0，y=0时是关于x的一次方程，看有没有解，y≠0时，上面方程为关于x的一元二次方程，方程有解，判别式△≥0，从而求的y的范围，这样便可求出原函数的值域．

解答： 解：由原函数得：yx²+y=x，整理得：
yx²-x+y=0，可将该式看成关于x的方程，方程有解；
若y=0，x=0，即方程有解；
若y≠0，上面的方程是关于x的一元二次方程，方程有解，所以：
△=1-4y²≥0，解得-

1

2

≤y≤

1

2

，且y≠0；
∴综上得原函数的值域为[-

1

2

，

1

2

]．

点评：考查函数值域的概念，通过将原函数整理成关于x的方程，方程有解，从而求值域的方法．