Question

分别求出符合下列要求的不同排法的种数．（用数字作答）
（Ⅰ）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（Ⅱ）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边；（甲、乙、丙可以不相邻）
（Ⅲ）从6人中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
（Ⅳ））6人排成一排，甲、乙相邻，且乙与丙不相邻．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）先将除甲乙之外的4个人全排列，再把甲、乙插入到4个人形成的5个空位中，再根据分步计数原理求得结果；
（Ⅱ）根据题意，分2步分析，①先在6个位置中任选3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，②、在剩余3个位置中，依次安排甲、乙、丙3人，依据排列组合公式计算每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅲ）根据题意，分2种情况讨论：①、若甲跑第四棒，②、若甲不跑第四棒，依据排列组合公式计算每一种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案；
（Ⅳ）根据题意，分2种情况讨论：①、若甲同时与乙丙相邻，②、若甲乙相邻，但与丙均不相邻，依据排列组合公式计算每一种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）分2步进行分析：
先将除甲乙之外的4个人全排列，有A₄⁴种排法，排好后有5个空位，
再把甲、乙插入到5个空位中，有A₅²种安排方法，
则甲、乙不相邻的排法有

A

2 5

•

A

4 4

=480种；
（Ⅱ）根据题意，分2步分析，
先在6个位置中任选3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有A₆³种排法，
而要求甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，只需在剩余3个位置中，依次安排甲、乙、丙3人，有1种情况，
则符合题意的排法有

A

3 6

=120种；
（Ⅲ）根据题意，分2种情况讨论：
①、若甲跑第四棒，此时只需在剩余5人中任选3人，安排在第一、二、三棒即可，有A₅³种安排方法，
②、若甲不跑第四棒，此时第四棒的排法有A₄¹种，第一棒的排法有A₄¹种，在剩余4人中任选2人，安排在第二、三棒，有A₄²种安排方法，
此时共有A₄¹•A₄²•A₄¹种安排方法；
则甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的排法有

A

3 5

+

A

1 4

•

A

2 4

•

A

1 4

=252种；
（Ⅳ）根据题意，分2种情况讨论：
①、若甲同时与乙丙相邻，即甲在中间，乙、丙在两边，有2种情况，
将3人看成一个整体，与其他三人全排列，共有2A₄⁴种排法，
②、若甲乙相邻，但与丙均不相邻，
将剩余三人进行全排列，有A₃³种排法，排好后有4个空位，
将甲乙看成一个整体，考虑其顺序有A₂²种情况，
在4个空位中任选2个，安排甲乙这个整体和丙，有A₄²•A₃³•A₂²种排法；
综合可得，共有2

A

4 4

+

A

2 4

•

A

3 3

•

A

2 2

=192种排法．

点评：本题考查排列、组合的运用，要熟练掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不能相邻问题用插空法．