Question

7．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+3），当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sin πx，且f（$\frac{3}{2}$）=0，则函数f（x）在区间[-6，6]上的零点个数是（　　）

• A． 18
• B． 17
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 可判断f（x）的周期为3，作函数f（x）在[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的图象，从而结合图象及周期性确定零点的个数．

解答 解：∵f（x）=f（x+3），
∴f（x）的周期为3，
∵当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sin πx，且f（$\frac{3}{2}$）=0，且f（x）是奇函数；
∴作函数f（x）在[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的图象如下，
，
结合图象可知，
f（-$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$）=0，
f（-1）=f（-4）=f（2）=f（5）=0，
f（1）=f（-2）=f（-5）=f（4）=0，
f（0）=f（-3）=f（-6）=f（3）=f（6）=0，
故函数f（x）在区间[-6，6]上的零点个数是17；
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点的个数的判断及数形结合的思想应用．