Question

2．已知A₁A₂、B₁B₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的长轴和短轴，若△A₁B₁B₂是等边三角形，则该椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 △A₁B₁B₂是等边三角形，可得2b=$\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}$，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵A₁A₂、B₁B₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的长轴和短轴，若△A₁B₁B₂是等边三角形，
∴2b=$\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}$，化为a²=3b²．
∴该椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．