Question

19．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是空间单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，若空间向量$\overrightarrow{c}$满足对于任意x、y∈R，|$\overrightarrow{c}$-（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）|≥|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的大小是$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{c}$上的投影是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，根据|$\overrightarrow{c}$-（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）|≥|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$|=2得出$\overrightarrow{c}$的坐标，进而求出答案．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×1×cosθ=$\frac{1}{2}$，∴cos$θ=\frac{1}{2}$，∴$θ=\frac{π}{3}$．
设$\overrightarrow{a}$=（1，0，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{c}$=（m，n，z），∵|$\overrightarrow{c}$-（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）|≥|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$|=2，∴z≥2，（m-$\frac{1}{2}$）²+（n-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+z²=4，∴m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，z=2．
∴$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1，cos＜$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．∴$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{c}$上的投影为|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），∴|$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（{\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了空间向量的夹角公式，数量积的坐标运算，求出$\overrightarrow{c}$的坐标是解题关键，属于中档题．