Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲线y=2x²-2上．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$，求数列的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得S_n=2a_n-2，从而a₁=2，S_n-1=2a_n-1-2，由此能证明数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由a_n=2ⁿ，得b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，点（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲线y=2x²-2上，
∴S_n=2a_n-2，①
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
解：（2）∵数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴数列的前n项和：
T_n=$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．