Question

16．设等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=$\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，若有两个自然数m、n，使得a_m、15、S_n成等差数列，lga_m，lg9，1gS_n也成等差数列，则m+n=14．

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n，S_n．由于有两个自然数m、n，使得a_m、15、S_n成等差数列，lga_m，lg9，1gS_n也成等差数列，可得a_m+S_n=30，lga_m+1gS_n=2lg9=lg81，即a_m•S_n=81．代入解出即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$．
前n项和为S_n=$\frac{n（1+\frac{n+1}{2}）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{4}$．
∵有两个自然数m、n，使得a_m、15、S_n成等差数列，lga_m，lg9，1gS_n也成等差数列，
∴a_m+S_n=30，lga_m+1gS_n=2lg9=lg81，即a_m•S_n=81．
∴$\frac{m+1}{2}+$$\frac{n（n+3）}{4}$=30.$\frac{m+1}{2}$•$\frac{n（n+3）}{4}$=81．
解得m=5，n=9．
则m+n=14．
故答案为：14．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．