Question

如图，A（1，0），B（

2

2

，

2

2

），C（0，1），D（-

2

2

，

2

2

），E（-1，0），F（-

2

2

，-

2

2

），G（0，-1），H（

2

2

，-

2

2

）这8个点中随机取两点与原点O（0，0）构成一个“平面几何体”，记该“平面几何体”的面积为随机变量S（当选取的两点与原点O在同一直线上时，此“平面几何体”的面积S=0）．
（1）求S=0的概率；
（2）求S的分布列与数学期望ES．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）基本事件空间即从8个点中随机选取2个点共有

C

2 8

=28种取法，研究的事件即选取的2个点与原点在一个平面内的取法有4种，故由古典概型概率计算公式即可得所求；
（2）先确定随机变量S的所有可能取值，再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率，最后列出分布列，利用期望计算公式计算S的期望．

解答： 解：（1）从8个点中随机选取2个点共有

C

2 8

=28种取法，选取的2个点与原点在一个平面内的取法有4种，
∴S=0的概率P（S=0）=

4

28

=

1

7

；
（2）S的所有可能取值为0，

2

4

，

1

2

，其中S=0有4种情况；S=

2

4

有16种情况；S=

1

2

有8种情况；
S的分布列

S	0	2 4	1 2
P	1 7	4 7	2 7

ES=0×

1

7

+

2

4

×

4

7

+

1

2

×

2

7

=

2 +1

7

．

点评：本题主要考查了古典概型的概率的计算方法和计算公式，利用组合数公式进行计数的方法，离散型随机变量分布列的意义和期望的计算，属中档题．