题目内容
设圆C与两圆（x+
）2+y2=1，（x-
）2+y2=1中的一个内切，另一个外切．
（1）求圆心C的轨迹L的方程
（2）求直线y=x+1被轨迹L截得的弦长．
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（1）求圆心C的轨迹L的方程
（2）求直线y=x+1被轨迹L截得的弦长．
考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程
专题：直线与圆
分析：（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减1或圆心C到圆心F1的距离减1与圆心C到圆心F2的距离加1，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数2，且小于两圆心的距离2
，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）联立轨迹L方程与直线y=x+1，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出x1+x2与x1x2的值，利用两点间的距离公式求出直线y=x+1被轨迹L截得的弦长即可．
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（2）联立轨迹L方程与直线y=x+1，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出x1+x2与x1x2的值，利用两点间的距离公式求出直线y=x+1被轨迹L截得的弦长即可．
解答：
解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（-
，0）、F2（
，0），
由题意得：|CF1|+1=|CF2|-1或|CF2|+1=|CF1|-1，
∴||CF2|-|CF1||=2=2a＜|F1F2|=2
=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为2，焦距为2
的双曲线，
∴a=1，c=
，则b2=c2-a2=2，
则圆心C的轨迹L的方程为x2-
=1；
（2）联立得：
，
消去y得：x2-
=1，即3x2+2x-5=0，
设方程的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-
，x1x2=-
，
则直线y=x+1被轨迹L截得的弦长为
=
=
•
=
．
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由题意得：|CF1|+1=|CF2|-1或|CF2|+1=|CF1|-1，
∴||CF2|-|CF1||=2=2a＜|F1F2|=2
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可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为2，焦距为2
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∴a=1，c=
| 3 |
则圆心C的轨迹L的方程为x2-
| y2 |
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（2）联立得：
|
消去y得：x2-
| (x+1)2 |
| 4 |
设方程的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
则直线y=x+1被轨迹L截得的弦长为
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| 2(x1-x2)2 |
| 2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
8
| ||
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点评：此题考查了直线与圆的位置关系，曲线的轨迹方程，韦达定理，两点间的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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