题目内容

已知点（
2
，2）在幂函数f（x）的图象上，函数g（x）=2mx+
1
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），若对于任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上是接近的，否则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上是非接近的．
①f1（x）=sinx，f2（x）=x，判断f1（x），f2（x）在区间[-π，π]上是否接近的，若是，请证明，不是，举个反例说明；
②若f（x）和g（x）在区间[1，2]上是接近的，求m的取值范围．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用,幂函数图象及其与指数的关系,幂函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（2）①举反例即可得到结论．
②将不等式进行转化，利用函数恒成立问题即可得到结论．
解答： （1）设幂函数为f（x）=xα，∵点（
2
，2）在幂函数f（x）的图象上，
∴f（
2
）=(
2
)α=2，解得α=2，即f（x）=x2．
（2）①设m（x）=sinx-x，则m′（x）=-cosx-1＜0，则函数m（x）在区间[-π，π]上单调递减，
则m（π）≤m（x）≤m（-π），即-π≤m（x）≤π，
则|m（x）|≤π，当x=-
π
2
时，
|m（x）|=|1+
π
2
|=1+
π
2
≤1不成立，故f1（x），f2（x）在区间[-π，π]上不是接近的．
②若f（x）和g（x）在区间[1，2]上是接近的，
则当x∈[1，2]时，|f（x）-g（x）|=|x2-2mx+
1
2
|≤1，
即-1≤x2-2mx+
1
2
≤1，
即-
3
2
≤x2-2mx≤
1
2
，在[1，2]恒成立，
即
2m≤x+
3
2
x
2m≥x-
1
2x
成立，
∵函数y=x+
3
2
x
≥2
x•
3
2x
=
6
，当且仅当x=
3
2x
，即x=
3
2
=
6
2
取等号，
∴此时2m≤
6
，即m≤
6
2
．
∵函数y=x-
1
2x
在[1，2]上单调递增，
∴当x=2时，函数取得最大值y=2-
1
4
=
7
4
，
即2m≥
7
4
，则m≥
7
8
，
综上
7
8
≤m≤
6
2
．
点评：本题主要考查幂函数的解析式的求解，以及不等式恒成立问题，运算量较大，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，侧面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．
（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）求二面角B1-AB-C的余弦值．
若
a
•
b
=|
a
|•|
b
|•cosλ＞0，求λ的取值范围．
已知数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2-5x+4=0的两根．
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（Ⅱ）若an=log2bn+3，求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅲ）若cn=an•bn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
如图，A（1，0），B（
2
2
，
2
2
），C（0，1），D（-
2
2
，
2
2
），E（-1，0），F（-
2
2
，-
2
2
），G（0，-1），H（
2
2
，-
2
2
）这8个点中随机取两点与原点O（0，0）构成一个“平面几何体”，记该“平面几何体”的面积为随机变量S（当选取的两点与原点O在同一直线上时，此“平面几何体”的面积S=0）．
（1）求S=0的概率；
（2）求S的分布列与数学期望ES．
已知a＞0，函数f（x）=
|x-a|
x+2a
在区间[0，4]上的最大值为
7
10
，则a的值为
 
．
已知A（1，0，0），B（0，1，1），C（1，1，0），D（1，2，0），E（0，0，1），则直线DE与平面ABC的位置关系是
 
．
函数y=
x
-x（x≥0）的最大值为
 
．
在极坐标系中，过点P（4
3
，
π
3
）作曲线C：p=4sinθ的切线，则切线长为
 
．

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