Question

1．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且BE⊥PD．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．
（Ⅱ）证明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，结合BE⊥PD即可得证．
（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A-PD-B的平面角．

解答 （Ⅰ）解：取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF∥CD，
∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．
∵PB=AB=BF=1，
∴AB⊥BC，
∴PA=PF=AF=$\sqrt{2}$．
∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°
即异面直线PA与CD所成的角等于60°．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．
∴CD⊥BD
又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、
∵PB∩BD=B，
∴CD⊥平面PBD，
∴CD⊥BE
∵CD∩PD=D，BE⊥PD
∴BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）解：连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、
∵PB⊥平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABD，
∴AO⊥平面PBD、
过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、
∴∠AHO为二面角A-PD-B的平面角．
在Rt△ABD中，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△PAD中，AH=$\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在Rt△AOH中，sin∠AHO=$\frac{AO}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠AHO=60°．
即二面角A-PD-B的大小为60°．

点评 此题主要考查异面直线的角度、二面角的平面角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．