Question

6．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部分的体积之比等于$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$．

Answer 1

分析 由已知中三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A-BCD的体积，又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．

解答 解：∵三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，
则棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$
又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，
∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上
则点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部分的体积之比为：
$\frac{1}{12}•\frac{4}{3}π$：（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{12}•\frac{4}{3}π$）=$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$，
故答案为$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$．

点评 本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．