Question

设函数f(x)＝mx²－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

[解析]　(1)要使mx²－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0；

若m≠0，则

所以m的取值范围是(－4,0]．

(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m(x－)²＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

方法一：令g(x)＝m(x－)²＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)_max＝g(3)＝7m－6<0，

所以m<，则0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)_max＝g(1)＝m－6<0.

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是{m|m<}．

方法二：因为x²－x＋1＝(x－)²＋>0，

又因为m(x²－x＋1)－6<0，

在[1,3]上的最小值为，

所以只需m<即可．

所以，m的取值范围是{m|m<}．