Question

15．已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，若C、D两点在以点A（0，-1）为圆心的同一个圆上，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $\{m|-\frac{1}{4}＜m＜0\}$
• B． {m|m＞4}
• C． {m|0＜m＜4}
• D． $\{m|-\frac{1}{4}＜m＜0或m＞4\}$

Answer 1

分析 M（x₁，y₁），N（x₂，y₃），线段MN的中点为B（（x₀，y₀），根据韦达定理和中点坐标公式，以及斜率公式即可求出

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₃），线段MN的中点为B（（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{k}^{2}-1≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}≠\frac{1}{3}}\\{{m}^{2}+1＞3{k}^{2}}\end{array}\right.$，①，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{3km}{3{k}^{2}-1}}\\{{y}_{0}=kx+m=-\frac{m}{3{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
根据题意可得AB⊥MN，
∴k_AB=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-0}$=$\frac{-m+3{k}^{2}-1}{-3km}$=-$\frac{1}{k}$，3k²=m+1，②，
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{4m+1＞0}\\{{m}^{2}+1＞4m+1}\\{4m+1≠1}\end{array}\right.$，解得m＞4或-$\frac{1}{4}$＜m＜0，
故选：D

点评 本题考查了双曲线和直线的关系以及韦达定理中点坐标公式斜率公式，考查了学生的运算能力，属于中档题