Question

7．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA=AB=$\frac{1}{2}$AC=a，∠BAC=60°，D是SC上的点．
（Ⅰ）若SD=$\frac{1}{4}$SC，求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在AC上任取一点E，使AE=$\frac{1}{4}AC$，则DE∥SA只需证明DE⊥AC．BE⊥AC，即可得AC⊥面BDE，AC⊥BD．
（Ⅱ）过E作EF⊥SC于F，连接BF，则SC⊥面BEF，可得EFB为二面角A-SC-B的平面角，在Rt△BEF中，cos$∠EFB=\frac{EF}{BF}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．可得二面角A-SC-B的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）在AC上任取一点E，使AE=$\frac{1}{4}AC$，则DE∥SA
∵SA⊥底面ABC，∴DE⊥底面ABC，∴DE⊥AC．
在△ABE，AE=$\frac{1}{2}a$，AB=a，∠BAC=60°，
由余弦定理得BE=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-2a•\frac{1}{2}acos6{0}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
∵AB²=AE²+BE²，∴BE⊥AC
∴AC⊥面BDE，AC⊥BD．
（Ⅱ）∵SA⊥底面ABC，SA?底面ABC，∴平面SAC⊥底面ABC．
由（Ⅰ）知BE⊥AC，∴BE⊥面SAC，BE⊥SC，
过E作EF⊥SC于F，连接BF，则SC⊥面BEF，∴SC⊥BF
∵EF⊥SC，BF⊥SC，∴∠EFB为二面角A-SC-B的平面角．
∵Rt△SAC∽Rt△EFC，∴$\frac{SA}{EF}=\frac{SC}{EC}，即\frac{a}{EF}=\frac{\sqrt{5}a}{\frac{3}{2}a}$，∴$EF=\frac{3a}{2\sqrt{5}}$．
又∵BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{9}{20}{a}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}a$．
在Rt△BEF中，cos$∠EFB=\frac{EF}{BF}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角A-SC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$

点评 本题考查了空间直线与直线的位置关系，考查了几何法求二面角，属于中档题．