Question

1．已知平面直角坐际系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁方程为ρ=2sinθ；C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（I）写出曲线C₁的直角坐标方程并判断点（1，$\frac{π}{4}$）和曲线C₁的位置关系．
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂距离的交点为A，B且|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求曲线C₂的普通方程．

Answer 1

分析 （I）根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C₁的直角坐标方程；
（II）根据垂径定理计算圆心到直线的距离，再根据距离公式列方程求出直线的斜率即可得出直线方程．

解答 解：（I）曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²-2y=0，
极坐标（1，$\frac{π}{4}$）的直角坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入方程左边得x²+y²-2y=1-$\sqrt{2}$＜0，
∴点（1，$\frac{π}{4}$）在曲线C₁内部．
（II）设曲线C₁的圆心为M（0，1），半径为r=1，则MA=1，
∴圆心M到直线C₂的距离d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵直线C₂过定点（-1，0），设直线C₂的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴$\frac{|k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得k=2或k=$\frac{1}{2}$．
∴直线C₂的方程为2x-y+2=0或x-2y+1=0．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．