Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在[2，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据奇函数的定义，求f（-x），使f（-x）=-f（x）即可；
（2）根据f（1）=2求出a，从而求出f（x），求f′（x），根据导数f′（x）的符号证明f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）根据f（x）在[2，5]上的单调性求f（x）在[2，5]上的最值即可．

解答： 解：（1）证明：f（-x）=

x2+a

-x

=-f(x)，∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：∵f（1）=2，∴

1+a

1

=2，∴a=1，f（x）=

x2+1

x

，f′（x）=

x2-1

x2

；
∵x＞1，∴x²＞1，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由（2）知，f（x）在[2，5]上是增函数，所以f（x）的最大值为f（5）=

26

5

，最小值为f（2）=

5

2

．

点评：考查奇函数的定义，根据导数符号证明函数单调性的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上最值的方法．