题目内容
求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点且在y轴上的弦长为2
的圆的方程．
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考点：直线与圆相交的性质
专题：待定系数法
分析：凡是经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点的圆的方程可以设为（x2+y2+8x-6y+21）+k（x-y+5）=0，再由弦长待定k．
解答：
解：设所求的圆的方程为（x2+y2+8x-6y+21）+k（x-y+5）=0，且与y轴的交点坐标为y1、y2，
令x=0得（y2-6y+21）+k（-y+5）=0，化简得y2-（k+6）y+21+5k=0
∴y1+y2=k+6，y1•y2=5k+21，
由|y1-y2|=2
两边平方得（y1+y2）2-4y1•y2=132
∴（k+6）2-4（5k+21）=132，化简得k2-8k-180=0
解得k=-10或k=18
∴所求圆的方程为（x2+y2+8x-6y+21）-10（x-y+5）=0，或（x2+y2+8x-6y+21）+18（x-y+5）=0
∴所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-29=0或x2+y2+26x-24y+111=0
令x=0得（y2-6y+21）+k（-y+5）=0，化简得y2-（k+6）y+21+5k=0
∴y1+y2=k+6，y1•y2=5k+21，
由|y1-y2|=2
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∴（k+6）2-4（5k+21）=132，化简得k2-8k-180=0
解得k=-10或k=18
∴所求圆的方程为（x2+y2+8x-6y+21）-10（x-y+5）=0，或（x2+y2+8x-6y+21）+18（x-y+5）=0
∴所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-29=0或x2+y2+26x-24y+111=0
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，如果牵扯到弦长问题，通常考虑韦达定理．
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