Question

已知-

π

6

≤x≤

3π

4

，函数f（x）=sin²x+2sinx+2，求f（x）的最大值和最小值，并求出相应的x值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由x的范围得到sinx的范围，然后利用二次函数的值域的求法求得f（x）的最大值和最小值，并求出相应的x值．

解答： 解：∵-

π

6

≤x≤

3π

4

，
∴sinx∈[-

1

2

，1]，
由f（x）=sin²x+2sinx+2=（sinx+1）²+1，
∴当sinx=-

1

2

，即x=-

π

6

时，函数f（x）有最小值为

5

4

；
当sinx=1，即x=

π

2

时，函数f（x）有最大值为5．
∴f（x）的最大值和最小值分别为5和

5

4

，对应的x值分别为

π

2

和-

π

6

．

点评：本题考查了三角函数的最值，考查了利用配方法求函数的值域，是基础题．