Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；
（2）证明面AED⊥面A₁FD₁
（3）求AE与平面D₁EF所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）取AB的中点G，连接FG，A₁G，运用三角函数的知识，证得AE⊥A₁G，再由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，即可得证；
（3）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方形的边长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），D₁（0，0，2），F（0，1，0），求出所求向量的坐标，再设平面D₁EF的法向量为

n

=（x，y，z），由向量的数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式，即可得到．

解答： （1）证明：由于AD⊥DD₁，AD⊥CD，
则AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
则AD⊥D₁F；
（2）证明：取AB的中点G，连接FG，A₁G，
易得D₁FGA₁为平行四边形，则D₁F∥A₁G，
在正方形ABB₁A₁中，tan∠A₁GA=

A1A

AG

=2，tan∠EAB=

1

2

，
即有∠A₁GA+∠EAB=90°，即有AE⊥A₁G，
即有AE⊥D₁F，又AD⊥D₁F，

D1F

则D₁F⊥平面AED，D₁F?平面A₁D₁F，
则面AED⊥面A₁FD₁；
（3）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方形的边长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），D₁（0，0，2），F（0，1，0），

AE

=（0，2，1），

EF

=（-2，-1，-1），

D1F

=（0，1，-2），
设平面D₁EF的法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n

⊥

EF

可得，

n

•

EF

=0，即-2x-y-z=0，

n

⊥

D1F

，可得，

n

•

D1F

=0，即有y-2z=0，
则取

n

=（-3，4，2），
cos＜

n

，

AE

＞=

0+8+2

5 • 29

=

2 5

29

，
设AE与平面D₁EF所成的角为θ，
则sinθ=

20

29

，cosθ=

3 29

29

．
则AE与平面D₁EF所成的角的余弦值为

3 29

29

．

点评：本题考查空间直线与平面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理和运用，考查空间的直线和平面所成的角的求法：运用法向量求解，考查运算能力，属于中档题．