Question

在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，向量

m

=(a-bcosC， c)与

n

=(sinB， 1)平行． 
（Ⅰ）求角B的值； 
（Ⅱ）若b=

2

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（I）利用向量共线定理、诱导公式、两角和差的正弦余弦公式即可得出；
（II）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴（a-bcosC）×1=c×sinB，
∴a=csinB+bcosC，
∴sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∴sin[π-（B+C）]=sinCsinB+sinBcosC，
∴sin（B+C）=sinCsinB+sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），
∴sinC≠0，
∴cosB=sinB即tanB=1，又B∈（0，π），
∴B=

π

4

，
（Ⅱ）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即2=a2+c2-

2

ac，
∴2+

2

ac=a2+c2≥2ac，即ac≤

2

2- 2

=2+

2

，
当且仅当a=c即a=c=

2+ 2

时取“=”，
S△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac≤

2

4

×(2+

2

)=

1+ 2

2

，
故△ABC面积的最大值为

1+ 2

2

．

点评：本题考查了向量共线定理、诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．