Question

设函数f（x）=x²-（a-2）x-alnx，若f（x）在[1，2]上的最小值为1，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：先求导，再分类讨论，根据函数的单调性求出a的值．

解答： 解：∵f（x）=x²-（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

(x+1)(2x-a)

x

，
当

a

2

≥2，即a≥4时，f（x）单调递减，f（x）_min=f（2）=4-2（a-2）-aln2=1，解得a=-

1

2+ln2

＜0（舍去）
当1＜

a

2

＜2时，即2＜a＜4时，f（x）在[1，

a

2

]单调递增，在（

a

2

，2]单调递减，f（x）_min=f（

a

2

）=-

a2

4

+a-aln

a

2

＜0≠1，
当

a

2

≤1时，即a≤2时，f（x）单调递增，f（x）_min=f（1）=3-a=1，
解得a=2，
综上所述a的值为2．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．