题目内容
设a∈R，函数f（x）=
（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．
（1）判断f（x）在R上的单调性；
（2）当-1＜a＜0时，求f（x）在[-2，-1]上的最值．
| ex |
| 2 |
（1）判断f（x）在R上的单调性；
（2）当-1＜a＜0时，求f（x）在[-2，-1]上的最值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（1）由已知得f′(x)=
(ax2+2ax+a+1)，由此利用导数性质能求出f（x）的单调函数．
（2）由已知条件推导出x∈[-2，-1]时，f（x）是单调递增函数，由此能求出f（x）在[-2，-1]上的最值．
| ex |
| 2 |
（2）由已知条件推导出x∈[-2，-1]时，f（x）是单调递增函数，由此能求出f（x）在[-2，-1]上的最值．
解答：
解：（1）∵f（x）=
（ax2+a+1），
∴f′(x)=
(ax2+2ax+a+1)，
设g（x）=ax2+2ax+a+1=a（x+1）2+1，
当a≥0时，g（x）≥1，f′（x）＞0，
即f（x）在R上是单调递增函数，
当a＜0时，g（x）=0的两根分别为
，
且
＜
，
当x∈(
，
)时，g（x）＞0
即f'（x）＞0
当x∈(-∞，
)∪(
，+∞)时，g（x）＜0
即f'（x）＜0，
∴f（x）在（
，
）上是单调递增函数，
在（-∞，
）和（
，+∞）上是单调递减函数．
（2）当-1＜a＜0时，
=-1-
＜-2，
=-1+
＞-1，
∴x∈[-2，-1]时，f（x）是单调递增函数，
故x=-2时，f（x）min=f（-2）=
，
x=-1时，f(x)max=f(-1)=
．
| ex |
| 2 |
∴f′(x)=
| ex |
| 2 |
设g（x）=ax2+2ax+a+1=a（x+1）2+1，
当a≥0时，g（x）≥1，f′（x）＞0，
即f（x）在R上是单调递增函数，
当a＜0时，g（x）=0的两根分别为
-a±
| ||
| a |
且
-a+
| ||
| a |
-a-
| ||
| a |
当x∈(
-a+
| ||
| a |
-a-
| ||
| a |
即f'（x）＞0
当x∈(-∞，
-a+
| ||
| a |
-a-
| ||
| a |
即f'（x）＜0，
∴f（x）在（
-a+
| ||
| a |
-a-
| ||
| a |
在（-∞，
-a+
| ||
| a |
-a-
| ||
| a |
（2）当-1＜a＜0时，
a+
| ||
| a |
| 1 | ||
|
-a-
| ||
| a |
| 1 | ||
|
∴x∈[-2，-1]时，f（x）是单调递增函数，
故x=-2时，f（x）min=f（-2）=
| 5a+1 |
| 2e2 |
x=-1时，f(x)max=f(-1)=
| 2a+1 |
| 2e |
点评：本题主要考查最值的求法、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．
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