Question

过抛物线y²=2x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，则直线l的倾斜角θ=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由y²=2x可得焦点F(

1

2

，0)．由题意设y=k（x-

1

2

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（不妨设x₂＞x₁）与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用焦半径公式即可得出．

解答： 解：由y²=2x可得焦点F(

1

2

，0)．
由题意设y=k（x-

1

2

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（不妨设x₂＞x₁）
联立

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，
化为4k²x²-（8+4k²）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2+k2

k2

，x₁x₂=

1

4

．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 1+k2

k2

．
∵

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，
∴

1

x1+ 1 2

-

1

x2+ 1 2

=1，
化为x₂-x₁=x₁x₂+

1

2

(x1+x2)+

1

4

，

2 1+k2

k2

=

1

4

+

2+k2

2k2

+

1

4

，
化为k²=3，
设直线的倾斜角为θ，则tanθ=±

3

．
∴

π

3

或

2π

3

．
故答案为：

π

3

或

2π

3

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦半径公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．