Question

已知函数f（x）=log₂（

3

2

sinx+cos²x-

3

2

）．
（1）求f（x）定义域及值域；
（2）若f（x₀）=2log₂（

2

-1）-

1

2

，求x₀的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得（2sinx-1）（sinx-1）＜0，得

1

2

＜sinx＜1，从而求出函数的定义域，令g（x）=

3

2

sinx+cos²x-

3

2

=-(sinx-

3

4

)2+

1

16

，通过讨论函数g（x）的单调性，求出函数g（x）的范围，从而求出函数f（x）的值域；
（2）将问题转化为解方程

3

2

sinx₀+1-sin²x₀-

3

2

=

3 2 -4

2

，方程无解．

解答： 解：（1）∵

3

2

sinx+cos²x-

3

2

＞0，
∴（2sinx-1）（sinx-1）＜0，
∴

1

2

＜sinx＜1，
∴2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

π

2

，或2kπ+

5π

6

＜x＜2kπ+π，
即函数f（x）的定义域为：（2kπ+

π

6

，2kπ+

π

2

）∪（2kπ+

5π

6

，2kπ+π）；
令g（x）=

3

2

sinx+cos²x-

3

2

=-(sinx-

3

4

)2+

1

16

，
∴g（x）在（

1

2

，

3

4

）递增，在（

3

4

，1）递减，
∴g（x）_max=g（

3

4

）=

1

16

，
∴0＜g（x）≤

1

16

，
∴f（x）≤-4，
即函数f（x）的值域是（-∞，-4]；
（2）∵f（x₀）=2log₂（

2

-1）-

1

2

，
∴

3

2

sinx₀+1-sin²x₀-

3

2

=

3 2 -4

2

，
∴2sin²x₀-3sinx₀+3

2

-3=0，
∴△=33-24

2

＜0，
∴此方程无解．

点评：本题考查了函数求函数的定义域，值域问题，考查三角函数的图象及性质，是一道中档题．