题目内容
在等差数列{an}中，若a5=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a9-n（n＜9，n∈N+），若a10=0则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）根据上述规律，若a15=0，则有怎样的等式？并给出证明．
考点：归纳推理,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列,推理和证明
分析：由已知中若a5=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a9-n（n＜9，n∈N+），若a10=0则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）归纳可得若a15=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a29-n（n＜29，n∈N+），进而根据等差数列的定义，可得答案．
解答：
解：∵若a5=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a9-n（n＜9，n∈N+），
若a10=0则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+），
归纳可得：
若a15=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a29-n（n＜29，n∈N+），
当n＜15时，（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+a29-n）=-（an+1+an+2+…+a29-n）=（2n-29）•a15=0，
当n≥15时，（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+a29-n）=a30-n+a31-n+…+an=（2n-29）•a15=0，
综上，（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+a29-n）=0恒成立，
即a1+a2+…+an=a1+a2+…+a29-n（n＜29，n∈N+）．
若a10=0则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+），
归纳可得：
若a15=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a29-n（n＜29，n∈N+），
当n＜15时，（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+a29-n）=-（an+1+an+2+…+a29-n）=（2n-29）•a15=0，
当n≥15时，（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+a29-n）=a30-n+a31-n+…+an=（2n-29）•a15=0，
综上，（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+a29-n）=0恒成立，
即a1+a2+…+an=a1+a2+…+a29-n（n＜29，n∈N+）．
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
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