Question

已知函数f（x）=

3x+a

3x-1

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（3）讨论（2）中函数的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据奇函数的定义即可求出a的值；
（3）根据分式函数的性质即可判断函数的单调性．

解答： 解：（1）要使函数f（x）有意义，则3^x-1≠0，即x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即

3-x+a

3-x-1

=

1+a•3x

1-3x

=-

3x+a

3x-1

．
即1+a•3^x=3^x+a，解得a=1；
（3）∵f（x）=

3x+a

3x-1

=

3x-1+a+1

3x-1

=1+

a+1

3x-1

=1+

2

3x-1

，
若x＞0，则函数y=3^x-1＞0，且函数单调递增，

2

3x-1

单调递减，则函数f（x）=1+

2

3x-1

单调递减，
若x＜0，则函数y=3^x-1＜0，且函数单调递增，

2

3x-1

单调递减，则函数f（x）=1+

2

3x-1

单调递减，
综上函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．