题目内容
已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0）平面内两点G、M同时满足
①
+
+
=
；
②|
|=|
|=|
|；
③|
|∥|
|；
求△ABC的顶点C的轨迹方程．
①
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
②|
| MA |
| MB |
| MC |
③|
| GM |
| AB |
求△ABC的顶点C的轨迹方程．
考点：轨迹方程
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由GM∥AB，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程．
解答：
解：由
+
+
=
得，G为重心，
由②|
|=|
|=|
|得，M为外心．
所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）．
又|
|∥|
|，则GM∥AB．
设M为（0，y），G为（x，y）（y≠0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）．
再由MA=MC，得
=
．
整理得：9x2+3y2=1①．
再设C（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=
，y=
．
代入①得：x′2+
=1．
所以△ABC的顶点C的轨迹方程为x′2+
=1（y≠0）．
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
由②|
| MA |
| MB |
| MC |
所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）．
又|
| GM |
| AB |
设M为（0，y），G为（x，y）（y≠0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）．
再由MA=MC，得
| 1+y2 |
| (3x)2+(y-3y)2 |
整理得：9x2+3y2=1①．
再设C（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=
| x′ |
| 3 |
| y′ |
| 3 |
代入①得：x′2+
| y′2 |
| 3 |
所以△ABC的顶点C的轨迹方程为x′2+
| y′2 |
| 3 |
点评：本题考查了轨迹方程，解答此题的关键是根据题目给出的条件判出G点是三角形ABC的重心，M为外心，考查了三角形的重心坐标公式，训练了代入法求曲线方程，此题属中档题．
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