Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．
（2）求函数f（x）的单调性及值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性，并证明．
（2）根据指数函数的性质即可求函数f（x）的单调性及值域．

解答： 解：（1）函数的定义域为R，
则f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
即函数f（x）为奇函数．
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x为增函数，∴y=2^x+1为增函数，
则f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

为增函数，
由y=f（x）=

2x-1

2x+1

得（1-y）2^x=1+y，
当y=1时，不成立，则方程等价为2^x=

1+y

1-y

，
由2^x=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故函数的值域为（-1，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用指数函数的性质是解决本题的关键．