Question

函数f（x）=

2ex+1

ex+1

，g（x）=ln（x+

1+x2

）．
（1）求证：对任意实数x，f（x）+f（-x）与g（x）+g（-x）均为定值；
（2）令F（x）=f（x）+g（x），试说明F（x）的单调性，再求F（x）在区间[-3，3]的最大值与最小值之和．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）化简可得f（x）+f（-x）=

2ex+1

ex+1

+

2e-x+1

e-x+1

=

2ex+1

ex+1

+

2+ex

ex+1

=3；g（x）+g（-x）=0；
（2）求导F′（x）=

ex

(ex+1)2

+

1

1+x2

＞0，故为增函数，从而求最值．

解答： 解：（1）证明：f（x）+f（-x）=

2ex+1

ex+1

+

2e-x+1

e-x+1

=

2ex+1

ex+1

+

2+ex

ex+1

=3；
g（x）+g（-x）=ln（x+

1+x2

）+ln（-x+

1+x2

）
=ln（1+x²-x²）=0．
故对任意实数x，f（x）+f（-x）与g（x）+g（-x）均为定值．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=

2ex+1

ex+1

+ln（x+

1+x2

），
F′（x）=

ex

(ex+1)2

+

1

1+x2

＞0，
故F（x）在其定义域上是增函数，
F（x）_max+F（x）_min=f（-3）+g（-3）+f（3）+g（3）=3．

点评：本题考查了函数的性质的应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．