Question

7．己知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若函数g（x）=f（sinx），则函数g（x）的最大值是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． 0
• C． 2
• D． 不存在

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得b=1，令t=sinx，即有y=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，运用正弦函数的值域，以及二次函数的值域求法，可得最大值．

解答 解：函数f（x）=x²+bx的导数为f′（x）=2x+b，
在点A（1，f（1））处的切线l的斜率为k=2+b，
由切线l与直线3x-y+2=0平行，可得2+b=3，解得b=1．
即有f（x）=x²+x，
函数g（x）=f（sinx）=sin²x+sinx
=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由t=sinx∈[-1，1]，可得y=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当t=1时，函数y取得最大值2．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．