Question

19．如图，⊙O的半径为r，MN切⊙O于点A，弦BC交OA于点Q，BP⊥BC，交MN于点P
（Ⅰ）求证：PQ∥AC；
（Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求PQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AB，推导出OA⊥MN，BP⊥BC，从而B、P、A、Q四点共圆，由此能证明PQ∥AC．
（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．推导出Rt△PAQ∽Rt△ECA，由此能求出PQ．

解答 证明：（Ⅰ）如图，连结AB．
∵MN切⊙O于点A，∴OA⊥MN．?（1分）
又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四点共圆，（2分）
所以∠QPA=∠ABC．?（3分）
又∵∠CAN=∠ABC，∴∠CAN=∠QPA．?（4分）
∴PQ∥AC．（5分）
解：（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．?（6分）
∵∠CAN=∠E，∠CAN=∠QPA，∴∠E=∠QPA．（7分）
∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴$\frac{PQ}{EA}$=$\frac{AQ}{CA}$，（9分）
故$PQ=\frac{AQ•EA}{CA}$=$\frac{2ar}{b}$．（10分）

点评 本题考查直线平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．