Question

18．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下结论：
①AC₁⊥平面A₁BD；
②直线AC₁与平面A₁BD的交点为△A₁BD的外心；
③若点P在△A₁BD所在平面上运动，则三棱锥P-B₁CD₁的体积为定值．
其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 ①根据线面垂直的判定定理进行证明．
②判断三棱锥C₁-A₁BD是正三棱锥即可．
③根据面面平行的判定定理证明平面B₁CD₁∥平面A₁BD即可．

解答 解：①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵CC₁⊥上底面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
又ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
AC∩CC₁=C，
∴BD⊥面ACC₁，
∴AC₁⊥BD，
同理得到AC₁⊥A₁B，
又A₁B∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，①正确；
②在正方体中，A₁B=A₁D=BD，
则△A₁BD为正三角形，
同时三棱锥C₁-A₁BD是正三棱锥，
则C₁在面A₁BD的射影为△A₁BD的外心；
∵AC₁⊥平面A₁BD；
∴直线AC₁与平面A₁BD的交点为△A₁BD的外心．故②正确，
③∵B₁C∥A₁D，CD₁∥A₁B，且B₁C∩CD₁=C，
∴平面B₁CD₁∥平面A₁BD，
即点P到平面的B₁CD₁距离为定值，
∴若点P在△A₁BD所在平面上运动，则三棱锥P-B₁CD₁的体积为定值．故③正确，
故3个命题都正确，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．