Question

5．给定R上的函数f（x），（　　）

• A． 存在R上函数g（x），使得f（g（x））=x
• B． 存在R上函数g（x），使得g（f（x））=x
• C． 存在R上函数g（x），使得f（g（x））=g（x）
• D． 存在R上函数g（x），使得f（g（x））=g（f（x））

Answer 1

分析 根据反函数的定义判断A，B，根据f（x）=x是否有解判断C，令g（x）=f（x）即可判断D正确．

解答 解：对于A，若f（g（x））=x，则g（x）=f^-1（x），
显然，当f（x）无反函数时，结论错误；故A错误；
同理，B错误；
对于C，若f（g（x））=g（x），则f（x）=x有解，
显然，当f（x）=x无解时，结论错误，故C错误；
对于D，令g（x）=f（x），显然f（g（x））=g（f（x））恒成立，故D正确；
故选D．

点评 本题考查了函数的概念，反函数的性质，方程与函数的关系，属于中档题．