Question

13．若6x²+4y²+6xy=1，x，y∈R，则x²-y²的最大值为$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 令x²-y²=t，条件式两边同乘t，得到关于$\frac{x}{y}$的方程，根据方程有解列不等式得出t的范围．

解答 解：设x²-y²=t，
则6tx²+4ty²+6txy=x²-y²，
即（6t-1）x²+6txy+（4t+1）y²=0，
若y=0，则x²=$\frac{1}{6}$，此时t=$\frac{1}{6}$，
若y≠0，则（6t-1）（$\frac{x}{y}$）²+6t•$\frac{x}{y}$+（4t+1）=0有解
∴6t-1=0或36t²-4（6t-1）（4t+1）≥0，
解得-$\frac{1}{3}$≤t≤$\frac{1}{5}$，
当且仅当x+3y=0且y²=$\frac{1}{40}$时，t取得最大值$\frac{1}{5}$．
故答案为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，属于中档题．