Question

16．已知菱形ABCD如图（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC与BD相交于点O，现沿AC进行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取点E，连接AE，BE，CE，DE，使得线段BE再平面ABC内的投影落在线段OB上，得到的图形如图（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意得DO⊥AC．，又平面ACD⊥平面ABC，得DO⊥面ABC．
  作EF⊥面ABC于F，可得F落在BO上，可得四边形DEFO是矩形，即证得 DE⊥AC
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}-1，\sqrt{3}$）．利用向量求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：依题意得△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，∴DO⊥AC．
又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO?面ACD，∴DO⊥面ABC．
  作EF⊥面ABC于F，可得F落在BO上，且∠EBF=∠OBE=60°．
在Rt△BEF中，EF=BE$•sin∠EBF=\sqrt{3}$，
在Rt△DOC中，DO=DC$•sin∠DCO=\sqrt{3}$，
∵DO⊥面ABC，EF⊥面ABC，所以DO∥EF，又DO=EF，∴四边形DEFO是矩形，
∵OF⊥AC，∴DE⊥AC；

（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}-1，\sqrt{3}$）．
故$\overrightarrow{BE}=（0，-1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}=（-1，-\sqrt{3}，0）$．
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（-3，\sqrt{3}，1）$
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}=（a，b，c）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=-b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-a+\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（3，\sqrt{3}，1）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{5}{13}$，
∴二面角A-BE-C的余弦值为$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查了空间面面垂直的性质，线线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．