Question

17．已知数列{a_n}为等比数列，a_n＞0，a₁=2，2a₂+a₃=30．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂，求b_n．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₁=2，2a₂+a₃=30．可得2×2q+2×q²=30，解得q．
（II）b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂，可得：n≥2时，b_n-b_n-1=a_n-1=2×3^n-2，b₁=6．利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁=2，2a₂+a₃=30．
∴2×2q+2×q²=30，解得q=3．
∴a_n=2×3^n-1．
（II）∵b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂，
∴n≥2时，b_n-b_n-1=a_n-1=2×3^n-2，b₁=6．
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=6+2[3^-1+3⁰+…+3^n-2]
=6+2×$\frac{\frac{1}{3}（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$=$\frac{17}{3}$+3^n-2．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．